Newtonsoft.Json と Json.NET の違いは無い。同じものだから。

.NET でJSON を扱うためのライブラリ Newtonsoft.Json ですが、これは要するに Json.NET の事なのです。

.NET Core では Newtonsoft.Json

.NET Core 3.0 からは、Microsoft から System.Text.Json が登場しました。
Newtonsoft.Json（Json.NET）から移行する場合の解説も公開されています。