特に開発中には SQL Server の Express 等のバージョンを使用することが多いですが、Data Source の指定方法をチェックしてみる必要があります。
ローカルの SQL Server Express への接続例。
<add connectionstring="Data Source=.\SQLEXPRESS; Initial Catalog=DatabaseName; Integrated Security=True; MultipleActiveResultSets=True" name="ConnectionStringName" providername="System.Data.SqlClient"> </add>